1:1
殘粒園｜園界兩向
11.79 m : 12.53 m
上側與右側界牆內側的兩段長度；相對1:1偏差約5.9%。矩形範圍取兩側界牆內緣。
01
從三分損益律開始
Sanfen Sunyi · One-Third Subtraction and Addition
將原長L分爲三份。減去一份，餘下2L/3；增加一份，得到4L/3。點擊下面的步驟，觀察每一次運算。
點擊步驟，觀察弦長如何變化。
古琴線圖與交互圖示：Yanzhi Yang，2026。七絃、十三徽參照古琴形制，以一根弦的局部有效長度演示運算。
同質、同張力的理想弦，頻率與有效弦長成反比。本文將這一長度關係與園林比例作數理對讀。
北宋的兩種尺度制度
阮逸、胡瑗《皇祐新樂圖記》記載皇祐年間的禮樂修制。捲上〈皇祐律呂圖第二〉徵引《史記·律書》，列出先損後益的長度數列：
81 → 54 → 72 → 48 → 64
依次乘2/3、4/3、2/3、4/3。這一古代方法在北宋文獻中得到記錄和採用。
樂律：以律管長度相生
《皇祐新樂圖記》把律呂、黍尺、量與權衡並列討論；三分損益用於相繼求出各律管的長度。以81爲起點，損一得54，再益一得72。
54 : 81 = 2 : 3
建築：以材分規定構件
《營造法式》卷四〈大木作制度一〉規定材分八等，以材廣十五分、厚十分作爲構件尺度的基準。這裏的“分”隨選用的材等確定。
10 : 15 = 2 : 3
材斷面圖及兩書對讀：Yanzhi Yang，2026。書影來源見各圖注。
兩書都把尺寸、計算與器物製作聯繫起來。2:3在樂律中表達前後兩根律管的長度關係，在建築中表達同一材斷面的厚廣關係。
02
進一步運算：差與和
令a、b爲兩段長度。2:3與3:4都相差一個單位，而相加分別爲5和7。因此，1:5與1:7可以由差與和構造；這一步已經換了比較對象。
選擇原長度比，查看差與和。
(3 − 2) : (3 + 2) = 1 : 5
三分損益的長度運算以2和3爲質因子；1:5與1:7由差和運算進一步求得。羣星草堂的1:5比較兩段庭院淨距，此處的1:5比較差與和。
03
童寯的比例討論
童寯在1930年的〈比例〉中寫道：“人眼見下列之比例，則覺適足”，隨後列出1:2、2:3、3:4、4:5。下圖以短邊與長邊之比表示：短邊逐漸增加，形狀由狹長趨近方形。
1:2
2:3
3:4
4:5
室內長寬：平面形狀
“室中之比例”表列“長、寬”，並在3:2與2:1旁註“巨室適用（大廳）”。
L爲長，W爲寬。長寬關係決定房間平面的展開方向與長方形程度。
室高：長與寬的平均值
原文：“高＝1/2（長＋寬）”。
H = (L + W) / 2
(5 + 3) / 2 = 4
以長5、寬3爲例，室高取4。此式把兩個平面尺度轉爲豎向尺度，使房間的高度與長寬共同構成一個體量關係。
圖中數字爲統一單位下的比例值。
04
園林比例與代表案例
每組比例選取一個代表案例，分別標明原書記數、作者量圖與數理比較。
1:2
留園｜林泉耆碩之館
5.52 m : 11.15 m ≈ 1 : 2
以前排、中部、後排柱心線爲界，一廳進深約5.52米，兩廳合計約11.15米。半廳與整體約爲1:2，呈現前後兩廳的進深分配。
2:3
拙政園｜遠香堂
1.53 m : 2.28 m
沿同一排柱線比較西迴廊柱距與西次間面闊，均以柱心取點。相對2:3偏差約+0.6%。
3:4
網師園｜小山叢桂軒
4.86 m : 6.53 m
取四角牆心交點，分別平均兩組對邊。兩向爲廳身進深與面闊，相對3:4偏差約−0.8%。
4:5
藝圃｜主池
22.20 m : 27.13 m
以主池水際線的縱橫包絡比較，南側曲折水灣計入縱向範圍。相對4:5偏差約+2.3%。
1:5
羣星草堂｜方亭兩側
1.91 m : 9.53 m
方亭兩側至花廳前廊外緣、石庭界牆內側的淨距。淨距由亭身外緣起算；使用原圖5米標尺換算。
1:6
豫園｜大假山與視距
7.4 m : 45.8 m ≈ 1 : 6.19
從三穗堂望向大假山主峯，峯高7.4米，水平視距45.8米，形成約9°仰角。峯高與視距約爲1:6，呈現平遠的景觀層次。
1:7
三峯石｜峯高與院寬比較
h : 7h
《嶺南庭園》建議主峯高約爲院寬的1/6至1/8。這裏取1:7作區間內比較，繪製峯高與院寬的分析示意。
3:5
滄浪亭｜明道堂
9.86 m : 16.86 m ≈ 3 : 5
明道堂廳身進深約9.86米，面闊約16.86米，進深與面闊約爲3:5。橫向展開的廳身面向北側庭院。
5:7
逢源北街｜兩座低峯
200 : 280 = 5 : 7
比較白虎與青龍兩峯的高度。此處5:7表示峯高之比；童寯的5:7表示室內長寬之比。
7:10
逢源北街｜青龍與主峯
280 : 400 = 7 : 10
青龍峯與玄武主峯的高度，直接由原圖標數化簡。
5:10:7
逢源北街｜三峯高低
200 : 400 : 280 = 5 : 10 : 7
依白虎、玄武、青龍的順序列出三峯高度。比例表達三座石峯的高低關係。
05
文獻中的其他比例
面積、長度和借景視距各有比較對象。以下保留文獻原數及其適用範圍。
| 比例 | 代表對象 | 含義與來源 |
|---|---|---|
| 1:2.5 = 2:5 | 藝圃歷史植景框格 | 文獻摘要所述乳魚亭框格的倍數關係。 |
| 1:7.5 = 2:15 | 藝圃歷史植景框格 | 文獻摘要所列框格比1:7.5，化爲整數比爲2:15。 |
| 1:1 / 2:1 | 寄暢園／惠山園、廓然大公 | 水體面積／對景假山佔地；依次爲1:1／2:1／2:1。 |
| 3:1 / 2:1 | 寄暢園、惠山園／廓然大公 | 主體池面長／寬；前兩園3:1，後一園2:1。 |
| 1:5 / ≈1:10 | 三園借景 | 借景高差／水平視距，按各觀察對象分別記錄。 |
| 4.4:1 / 1:1 | 寄暢園望惠山／錫山 | 山體展寬／視距，依表1分別記錄。 |
| 3.5:1 / 1:2 / 1.1:1 | 惠山園望假山／萬壽山／北山 | 山體展寬／視距；對象按此順序對應。 |
| 1.3:1 | 廓然大公望北山 | 北山展寬／視距，見表1。 |
| 32:24:28:16 | 避暑山莊現狀模型 | 喬灌木、草地、水體、建築的模型面積佔比（%）。 |
| 53:22:15:10 | 熱河行宮模型 | 喬灌木、草地、水體、建築的模型面積佔比（%）。 |
| 3:5:8 / 1:2:3 / 2:3:5 | 植物配置候選比例 | 文獻提出的植物配置候選比例，分別對應高度、體量、面積。 |
06 參考文獻
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